É usado em todos os ramos das ciências físicas, na ciência da computação, estatística, engenharia, economia, medicina e em outras áreas sempre que um problema possa ser modelado matematicamente e uma solução ótima é desejada.
Algumas aplicações:
Acidentes de carro
Uma colisão de carro pode ocorrer a qualquer momento e em qualquer lugar. O evento é sempre desagradável e pode acarretar desde transtornos financeiros até a perda de entes queridos.
No caso de um acidente, como saber quem foi o culpado, isto é, quem estava dirigindo a uma velocidade acima do permitido? Embora possa parecer uma tarefa difícil, os peritos criminais descobrem essa importante informação com base na soma de vetores, que é obtida através da análise das marcas do impacto na lataria e do deslocamento dos veículos no momento da colisão. Apesar de todos os modernos computadores utilizados para fazer isso, o princípio básico é o mesmo que você viu aqui.
Vazamento de óleo
A vida marinha de um oceano ou praia pode ficar seriamente ameaçada quando um navio petrolífero sofre um acidente e começa a despejar óleo no mar. Os técnicos precisam agir rápido para conter o derramamento de óleo e preservar a fauna. Uma grande aliada deles são as derivadas que, entre outras aplicações, também servem para indicar a taxa de crescimento de uma determinada grandeza em relação a outra.
Assim, com base nas derivadas, cientistas podem prever como e quanto a mancha de óleo está crescendo a cada instante e onde ela estará em determinado momento, podendo tomar decisões estratégicas para minimizar o desastre.
Na verdade, mesmo que você ainda não esteja no curso superior, é muito provável que você já tenha utilizado derivadas para fazer diversos cálculos. Simplificadamente, tudo que envolve uma taxa de variação pode ser entendido como uma derivada. Assim, a famosa fórmula da velocidade escalar média da Física = v = d/t pode ser entendida como a derivada da distância em relação ao tempo – e é exatamente isso que a derivada mede nesse caso: o quanto o deslocamento varia em relação ao tempo.
Curvas de nível e mapas de relevo
É provável que você já conheça os chamados mapas físicos, que mostram o relevo de um determinado local. Então, você não deveria ter dificuldade em compreender as curvas de nível e mapas de contorno, que possuem o mesmo propósito.
Uma curva de nível nada mais é do que a projeção, no plano xy, da intersecção de um plano z = k e o gráfico de uma superfície. Isso permite que uma função de três variáveis possa ser representada em um ambiente bidimensional. Assim, o matemático pode descobrir como a função se comporta sem analisar o seu gráfico diretamente.
O mesmo ocorre com os mapas de relevo. Nesses mapas, em geral, quanto mais avermelhada for uma região, mais alta ela é, ao passo que as planícies e depressões são representadas pelos tons de verde. Isso é um mapa de contornos colorido. Ao observá-lo, eu posso descobrir se determinada região é mais alta do que outra sem a necessidade de ir lá pessoalmente ou de observar uma foto real do local. Geógrafos também utilizam curvas de nível para analisar o relevo de montanhas.
Gradientes na Medicina e em aplicações militares
Mais do que vetores obtidos a partir das derivadas parciais de uma função de duas ou de mais variáveis, os gradientes são vetores normais às curvas de nível que apontam na direção em que há a maior variação – e o valor dessa variação é o módulo do vetor gradiente.
Essa interessante propriedade faz do gradiente um importante aliado da Medicina. Se, por exemplo, um médico deseja aplicar um medicamento em um paciente para combater um tumor, ele poderia utilizar esses vetores para localizá-lo, pois os tumores são grandes fontes de calor e, através dos gradientes, o profissional poderia determinar, com precisão, sua localização e o melhor método a ser adotado.
O mesmo princípio também é utilizado em aplicações militares onde, através dos gradientes – e do calor -, pode ser determinado o local exato de um alvo e a melhor forma de atingi-lo.
Fonte: Wikipédia
